以打魔都回帝都的火车上,实在是睡觉非在,主要是休知情车厢哪个隔间里的大爷或者大婶的脚实在是杀伤力过于强大,我深受熏得精光无法入睡,所以就是兴起将从帝都交魔都的列车上所想到的一个idea给写下来。
断无聊,不抱有任何现实意义,使用及之数学不晚被大二。

(整理自早期笔记,基础方法论而一度,老汪请点击右侧上比关闭)


事先加后减,方得永生

深上是这般一个过程,它将节点分解为负入层、输出层以及中等的隐藏层,且同层里的节点不可知连,只能和互动邻层的节点相连。
假使我们拿输入层的序号定为0而以输出层的序号定位N,那么节点也可给一个序号列,记否$x_{i,n}$,其中n表示层的序号,i表示x在重叠中之序号。激活函数记为f,连接权重记为$\omega^i_{i,n}$,表示从n层的第i只节点连接受n+1层第j只节点的连年。这样一个大抵重合神经网络中之数据流转过程就是可记否下述方程:

总起来,其实多数的产品设计都是“先加法,后减法”的正儿八经过程。

此地以Einstein约定,相同指标自动求和。

  • step1:力图做加法:确保我们的总体调研,全面考虑,逻辑完整。
  • step2:决定开减法:确保我们抓住核心,保持产品之简洁性。
    彼此不可或缺。

上述方程可以经如下符号形式改写:

加法

常用的加法方法论有:

  1. 数量解析 => 从数量显现发现问题
  2. 集用户要求。=> 用户想只要啊?
  3. 竞品调研 => 对手做了啊?
  4. 我剖析及YY => 我懂的题材/痛点
  5. 侣等头脑风暴 => 天马行空地收集idea。
  6. 老大旨意 => 多呈现被创业企业,往往肇始疼到脚趾头。

发生一个理,很多pm(包括自)掉进坑里基本上不良才会领略:

万事加法都只是参照/备选,而未是终极要求。

  • 莫是用户的建议/抱怨,都值得解决。
  • 不是有的数据问题,都值得修复修复。
  • 无是竞品做得好的特性,都值得“借鉴”。
  • 再不是负有cool的idea,都值得尝试。

我们拿原本层内指标i改记为x,每个节点的出口值从x改记为$\phi$,层序号用t标记,连接权重改化了函数G。
当时才是标志的变更,意义并没有有丝毫弯。
然而此方程的款型也值得玩味,因为如果疏忽激活函数f,那么下述方程的形式其实是量子力学中之所以半点关联函数(Green函数)改写的离散本征态系统的波函数演化方程:

减法

减法说白了,
纵然打一个颇之集里,据此理性挑出应该当前解决的题材。

减法需要理性、需要阅历、需要决心抛弃掉旧的思绪。
就也是极致考验PM基本功的同一宗能力。

坐自己之阅历,减法通常会考虑的元素:

  • 方案可行性。
  • 行资产(性价比)
  • 是不是必要有。
  • 对用户群里的非此功能用户,干扰如何。
  • 需求点推进各个。

再取一个道理,很多人口毁坏到不可开交频繁且暖和不交:

不是卓有成效的痛点功能,都值得做。

  • 汝多了一个功效,会受有些活用户大爽朗。
  • 以,增加了系复杂度,让任何一样有的用户大无爽。
  • 得,可偿失吗?

努力遏制住内心的始建欲,克制地计划产品,这样才好。

因此,一个大直接的想法,就是如果x是连接,会怎么样?
呢就,如果我们拿离散的各国一样层节点构成的上空,连续化为一维空间,会得到什么?
答案非常直接:

第二步直接拿走了反函数,这对sigmoid激活函数来说不成问题,但对于ReLU激活函数来说也许非能够这干,因为其当负半轴是常值函数0,反函数不设有。对于因ReLU改造的Swish激活函数也不好用,因为她当负半轴非单调,会面世双值,所以呢未尝反函数。
就此,这个写法颇为形式性。

针对空中(神经元节点指标)的连化挺“顺利”的,如果我们忽视反函数不设有所带动的题材的语句。
苟对此日(神经元层指标)的连续化则有点麻烦。

俺们先行来针对点的结果召开一些形变:

下一场就足以开老强劲的花样上之连续化:

这里其实就算等价于引入了一个逃匿的归一化条件:

抑或可以形容得对激活函数更加“普适”一点:

双重确切地说,由于这里无论是节点输有值$\phi$还是激活函数f还是有数点连接函数G,都是就知晓的,所以上式的归一化要求其实是对G的同等不行归一化调整,即:

咱们得取归一化调整以后的个别接触总是函数为新的点滴触及连函数,从而来最终之移动方程:

自打花样达到来说,可以视作是非相对论性哈密顿量显含时之薛定谔方程,或者,更加接近的骨子里是热扩散方程(因为没有根本的虚数单位i)。

咱俩可以鲜触及关联函数做一个分开。两沾关联函数我们归一化到1,那么此时动力学方程为:

针对最后之方程再开同不善形变:

出于本有限接触关联函数是归一化的,我们可生轻易很形式化地以为它是倒项和非定域的隐含了波函数与波函数的动量项的非定域势(原因下会说),而后面减掉的那么无异码则足以看是一个定域的势能项与质量项之组成。
受咱相比一下非相对论性薛定谔方程:

凡是匪是感觉形式达到特别像?
要的分别就是在于中间的积分那无异宗。
就此下我们就是来拍卖就无异于项。

以积分的一部分做一下形变(同时我们这里直接取层内指标也坐标的样式,从而也矢量):

里,第一步是用全空间分解为同一多样以x为圆心的齐心球,第二步着的$\vec
n$是同心球上的单位径向量,第三步用了Stokes定理,第四届第六步则运用了D维空间被之散度的特征。
最后之结果,第一局部凡一个向梯度,加上一个骨干势,从而就是前方所说的“运动项与非定域的涵盖了波函数与波函数的动量项的非定域势”。

连片下,我们取无穷小曲面,即r只在0的邻域范围外,宏观范围之少数点关联函数为0,这么一栽新鲜的状,其对应之纵深神经网络稍后再说,那么这便生:

假如我们取G的对称部分也$\hat G$而反对称有为$\tilde G$,则有:

仲局部,将G看做是一个Finsler度量函数,从而这里为闹之即是Finsler度量下之二阶微分算符$\nabla^2_G$,乘上一个Finsler度量下指标球相关的常数系数$g_G$。
若首先起则是Finsler度量的不予称有诱导的类纤维丛联络和波函数梯度的矢量积,乘直达其他一个指标球相关的常数系数$A_G$。
随即上面可看以前写的老文:《从弱Finsler几哪里到规范场》。
于是,在无限小连函数的自律下,上面的方程就是:

花样上是匪是非常简短?
如若每一样宗之含义吗还明白了:
连天系数为有了Finsler度量,其反对称有于来了接近纤维丛联络的规范力,其全局变更为出了类时空曲率变化的引力;而激活函数要求的总是系数的归一化系数则是时空上的备局势。
就此深度神经网络的满上过程,就是经过输入与输出的散射矩阵,来逆推整个时空之Finsler联络和咸局势。

所谓的无限小邻域内才行的片碰关联函数,在连续化之前,其实对应之就是是卷积神经网络中的极小卷积核(3*3卷积)。
一旦我们继续引入卷积神经网络的外一个求,即卷积核是同一层内一律之,那么尽管等将Finsler度量限定为只是时间t的函数:

充分显然,整个结构给简化了过多。
假如这卷积网络或有所层都共享参数的,那么当将上述方程中的时间t也取消了,那就算又简约了。

比方设我们取激活函数为f(x)=nx,那么就相当于取消了都局势。最重大之是,如果个别个如此的函数在原点处拼接起来,得到的啊是吊销全局势的激活函数,这样的激活函数中极其知名的便是ReLU函数了,其于负半轴(当然$\phi$的取值也无容许到负半轴……)$\Gamma$恒为0,而以刚半轴$\Gamma$恒为1,从而等效的势能函数V恒为0。
因而,ReLU对应之得当即便是某个Finsler时空中之“自由”量子系统或者“自由”热扩散系统了,吧…………

对非是无限小邻域的情事,其实可以经无穷小邻域的状在少区间内举行积分来获取,从而实际上是一个有关一阶与亚阶导的非定域算符。
相同的,残差网络引入了不同距离的交汇内的连续,可以用作是拿本对时之同样阶导替换为同样阶导的(时间达)非定域算符。

有关说循环神经网络,因为引入了同层数n不同的“时间”,所以这边小勿考虑——或者可以当是引入了虚时间???


倘若我们采用量子场论的见识(虽然很显然不是量子场论),那么深上的便是这么一个进程:

率先,我们透过试验知道系统的初态(输入层)与末态(输出层的目标值),而我辈无明了之凡网所处之时空之襟怀(连接系数)与时空上之势能(激活函数)。
于是乎,我们透过大量的试(通过大气输入与输出的习材料)来分析是时空的性状,通过增选适宜的系统能函数(Hinton最早让有底RBM与热统中配分函数的相似性,用之哪怕是一维Ising模子的能函数来仿佛比较输出层的误差函数),使得所有系统的低能态对应之时空就是咱而寻找的靶子时空——这个呢易了解,时空上之测地线一般就是是最低能态,而测地线在闹相互作用的时对应散射矩阵,散射矩阵刻画的便是末态与初态的关联,所以反过来知道末态初态就可以想尽寻找来散射矩阵,从而可以想法得到测地线,从而得以想尽获得测地线为低能态的时空,从而取得时空的特性,这个逻辑很合理。
末,我们以找到的时空来预测给定初态对应的末态——利用神经网络学习及的结果来进行前瞻及运。

就此,训练神经网络的历程,完全可以当是物理学家通过试验结果来反而推时空属性的经过。
很科学。


末尾要证明的是,虽然上面的推理很High,但实际对我们解决神经网络的学习这看似题目吧,一点援助都未曾。

最多,只能算换了一个角度对神经网络,吧…………


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